mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 4 · Exercice

Une famille orthogonale est libre

Produit scalaire et espaces euclidiens · Familles orthogonales et bases orthonormées · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{3}$ , montrer que la famille $(1, 1, 0)$ , $(1, - 1, 0)$ , $(0, 0, 3)$ est orthogonale, puis qu'elle est une base de $R^{3}$ .

Orthogonalité. Trois produits scalaires à calculer :

$⟨(1, 1, 0), (1, - 1, 0)⟩ = 1 - 1 = 0, ⟨(1, 1, 0), (0, 0, 3)⟩ = 0, ⟨(1, - 1, 0), (0, 0, 3)⟩ = 0.$

Liberté. Aucun des trois vecteurs n'est nul, et la famille est orthogonale : par le théorème du cours, elle est libre.

Base. Trois vecteurs libres dans un espace de dimension $3$ : c'est une base.

Pour l'orthonormer, il suffirait de diviser chacun par sa norme : $2$ , $2$ et $3$ .