Une famille orthogonale est une base

Les trois produits scalaires croisés. $$⟨u_1,u_2⟩=1\times 0+0\times 1+1\times 0=0,$$ $$⟨u_1,u_3⟩=1\times 1+0\times 0+1\times (-1)=1-1=0,$$ $$⟨u_2,u_3⟩=0\times 1+1\times 0+0\times (-1)=0.$$ Les trois valent $0$ : la famille est orthogonale.

Aucun vecteur n'est nul. $$\Vert u_1{\Vert }^2=1+0+1=2,\Vert u_2{\Vert }^2=0+1+0=1,\Vert u_3{\Vert }^2=1+0+1=2.$$ Les trois normes sont non nulles.

La liberté. Le théorème du cours s'applique : toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre. On peut d'ailleurs refaire l'argument : si ${\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2+{\lambda }_3{u}_3=0$, en prenant le produit scalaire avec $u_j$, tous les termes croisés disparaissent et il reste ${\lambda }_j\Vert u_j{\Vert }^2=0$, donc ${\lambda }_j=0$.

La conclusion. $(u_1,u_2,u_3)$ est une famille libre de trois vecteurs dans ${\mathbb{R}}^3$, qui est de dimension $3$ : c'est une base de ${\mathbb{R}}^3$, et même une base orthogonale.

Pour la rendre orthonormée. Il suffit de normer chaque vecteur : $$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),e_2=(0,1,0),e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1).$$