Une matrice orthogonale conserve les longueurs

L'outil. Dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux colonnes s'écrit $⟨X,Y⟩={}^{t}XY$, et $\Vert X{\Vert }^2={}^{t}XX$.

La conservation du produit scalaire. En utilisant ${}^t(PX)={}^{t}X{}^{t}P$ : $$⟨PX,PY⟩={}^t(PX)(PY)={}^{t}X\left({}^{t}PP\right)Y={}^{t}X{I}_{n}Y={}^{t}XY=⟨X,Y⟩.$$

La conservation de la norme. C'est le cas particulier $Y=X$ : $$\Vert PX{\Vert }^2=⟨PX,PX⟩=⟨X,X⟩=\Vert X{\Vert }^2,$$ et les deux normes étant positives, $\Vert PX\Vert =\Vert X\Vert$.

La vérification sur l'exemple. Notons $C_1,C_2,C_3$ les colonnes de $3P$, soit ${}^t(2,1,2)$, ${}^t(-2,2,1)$ et ${}^t(1,2,-2)$. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^{t}PP$ vaut $\frac{1}{9}⟨C_i,C_j⟩$. Or $$\Vert C_1{\Vert }^2=4+1+4=9,\Vert C_2{\Vert }^2=4+4+1=9,\Vert C_3{\Vert }^2=1+4+4=9,$$ $$⟨C_1,C_2⟩=-4+2+2=0,⟨C_1,C_3⟩=2+2-4=0,⟨C_2,C_3⟩=-2+4-2=0.$$ Donc ${}^{t}PP=\frac{1}{9}\cdot 9I_3=I_3$ : $P$ vérifie bien l'hypothèse.

Ce que le programme en demande. Rien de plus que $P^{-1}={}^{t}P$ : ici l'inverse de $P$ s'obtient en la transposant, sans aucun calcul. Le point délicat est de bien voir que ${}^{t}PP=I_n$ se lit exactement comme « les colonnes de $P$ forment une famille orthonormée ».