mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

Une matrice orthogonale conserve les longueurs

Produit scalaire et espaces euclidiens · Bases orthonormées · ★★ niveau 2

Énoncé

Soit $P\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant ${}^{t}PP=I_n$. Montrer que $\Vert PX\Vert =\Vert X\Vert$ et $⟨PX,PY⟩=⟨X,Y⟩$ pour toutes colonnes $X,Y$. Vérifier l'hypothèse pour $P=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 1& -2\end{array}\right)$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.