Une somme et la somme des inverses

Le choix des deux vecteurs. Les $x_i$ étant strictement positifs, on pose dans ${\mathbb{R}}^n$ muni du produit scalaire canonique $$u=\left(\sqrt{x_1},\dots ,\sqrt{x_n}\right),v=\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{x_n}}\right).$$ C'est tout l'exercice : il fallait faire apparaître les $x_i$ d'un côté et leurs inverses de l'autre, en répartissant chaque facteur en deux racines.

Les trois quantités. $⟨u,v⟩={\sum }_i\sqrt{x_i}\times \frac{1}{\sqrt{x_i}}=n$, $\Vert u{\Vert }^2={\sum }_i{x}_i$ et $\Vert v{\Vert }^2={\sum }_i\frac{1}{x_i}$.

Cauchy-Schwarz. Élevée au carré, l'inégalité $|⟨u,v⟩|⩽\Vert u\Vert \Vert v\Vert$ s'écrit exactement $$n^2⩽\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}\right).$$

Le cas d'égalité. Il a lieu si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires. Comme $u\ne 0$, cela s'écrit $v=tu$ pour un réel $t$, c'est-à-dire $\frac{1}{\sqrt{x_i}}=t\sqrt{x_i}$ pour tout $i$, soit $x_i=\frac{1}{t}$ : tous les $x_i$ sont égaux. Réciproquement, si tous valent $a>0$, le produit vaut $(na)\times \frac{n}{a}=n^2$.

Le point à retenir. Cauchy-Schwarz sert rarement telle quelle : on l'emploie en fabriquant deux vecteurs dont le produit scalaire est la quantité simple, et dont les normes sont les deux sommes de l'énoncé. Ici, couper $x_i$ en $\sqrt{x_i}\times \sqrt{x_i}$ était le seul geste à trouver.