Vérifier le théorème de Pythagore

L'orthogonalité. $$⟨u,v⟩=1\times 1+2\times 0+(-1)\times 1=1+0-1=0.$$ Le produit scalaire est nul : $u$ et $v$ sont orthogonaux.

Les deux carrés de normes. $$\Vert u{\Vert }^2=1^2+2^2+(-1{)}^2=1+4+1=6,\Vert v{\Vert }^2=1^2+0^2+1^2=1+0+1=2.$$ Leur somme vaut $8$.

La norme de la somme. $u+v=(1+1,2+0,-1+1)=(2,2,0)$, donc $$\Vert u+v{\Vert }^2=2^2+2^2+0^2=4+4=8.$$

La vérification. $\Vert u+v{\Vert }^2=8=6+2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$ : le théorème de Pythagore est bien vérifié.

Pourquoi cela marche. Le développement général donne $$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2,$$ et c'est exactement le terme croisé $2⟨u,v⟩$ qui disparaît lorsque les deux vecteurs sont orthogonaux. Sans cette hypothèse, l'égalité est fausse : avec $u=v=(1,0,0)$, on aurait $\Vert u+v{\Vert }^2=4$ et $\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2=2$.