Approcher une exponentielle au premier ordre

Les dérivées partielles. En gelant tour à tour chaque variable : $${\partial }_{1}f(x,y)={\mathrm{e}}^x(1+y),{\partial }_{2}f(x,y)={\mathrm{e}}^x.$$ Ces deux fonctions sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$, donc $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et le développement limité d'ordre $1$ s'applique.

Les valeurs en $(0,0)$. $$f(0,0)=1,\nabla f(0,0)=(1,1).$$

Le développement limité. Pour $h=(h_1,h_2)$ voisin de $(0,0)$, $$f(h_1,h_2)=f(0,0)+⟨\nabla f(0,0),h⟩+\Vert h\Vert \epsilon (h)=1+h_1+h_2+\Vert h\Vert \epsilon (h),$$ avec $\epsilon (h)\to 0$ quand $h\to (0,0)$.

La valeur approchée. Avec $h_1=0,01$ et $h_2=0,02$ : $$f(0,01;0,02)\approx 1+0,01+0,02=1,03.$$

La valeur exacte. $f(0,01;0,02)={\mathrm{e}}^{0,01}\times 1,02$. Or ${\mathrm{e}}^{0,01}\approx 1,010050$, donc $$f(0,01;0,02)\approx 1,010050\times 1,02\approx 1,030251.$$

La comparaison. L'écart vaut environ $2,5\times 10^{-4}$, alors que $\Vert h\Vert =\sqrt{0,0001+0,0004}\approx 0,022$. L'erreur est donc de l'ordre de $\Vert h{\Vert }^2$, bien plus petite que $\Vert h\Vert$ : c'est exactement ce qu'annonce le terme $\Vert h\Vert \epsilon (h)$, négligeable devant $\Vert h\Vert$. Le point délicat est de ne pas confondre les deux : le développement contrôle l'erreur relativement à $\Vert h\Vert$, pas dans l'absolu.