Continuité d'un quotient

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Continuité et lignes de niveau

Énoncé

Soit $f (x, y) = \frac{x ^{2} + y}{1 + x ^{2} + y ^{2}}$ . Justifier que $f$ est continue sur $R^{2}$ , puis calculer $\nabla f (0, 0)$ .

Corrigé

Continuité. Numérateur et dénominateur sont polynomiaux donc continus, et le dénominateur $1 + x^{2} + y^{2}$ vaut au moins $1$ : il ne s'annule jamais. Le quotient est donc continu sur $R^{2}$ .

Gradient en $(0, 0)$ . Le plus court est de passer par les fonctions partielles.

$f (x, 0) = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}, de d e ˊ riv e ˊ e \frac{2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}, nulle en x = 0.$

$f (0, y) = \frac{y}{1 + y ^{2}}, de d e ˊ riv e ˊ e \frac{1 - y ^{2}}{( 1 + y ^{2} ) ^{2}}, valant 1 en y = 0.$

Donc $\nabla f (0, 0) = (0, 1)$ .

La méthode. Pour un gradient en un point précis, il est souvent plus rapide de dériver les fonctions partielles que la formule générale : on gèle une variable à sa valeur, et le calcul se simplifie tout de suite.

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