Continuité d'un quotient

Continuité. Numérateur et dénominateur sont polynomiaux donc continus, et le dénominateur $1+x^2+y^2$ vaut au moins $1$ : il ne s'annule jamais. Le quotient est donc continu sur ${\mathbb{R}}^2$.

Gradient en $(0,0)$. Le plus court est de passer par les fonctions partielles.

$$f(x,0)=\frac{x^2}{1+x^2},\text{de deˊriveˊe }\frac{2x}{(1+x^2{)}^2},\text{nulle en }x=0.$$

$$f(0,y)=\frac{y}{1+y^2},\text{de deˊriveˊe }\frac{1-y^2}{(1+y^2{)}^2},\text{valant }1\text{ en }y=0.$$

Donc $\nabla f(0,0)=(0,1)$.

La méthode. Pour un gradient en un point précis, il est souvent plus rapide de dériver les fonctions partielles que la formule générale : on gèle une variable à sa valeur, et le calcul se simplifie tout de suite.