Dérivées partielles secondes

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Dérivées partielles

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} y^{3}$ . Calculer les quatre dérivées partielles secondes et vérifier que les deux dérivées croisées coïncident.

Corrigé

Ordre 1. $\partial_{1} f = 2 x y^{3}$ et $\partial_{2} f = 3 x^{2} y^{2}$ .

Ordre 2.

$\partial_{1, 1}^{2} f = 2 y^{3}, \partial_{2, 2}^{2} f = 6 x^{2} y, \partial_{1, 2}^{2} f = \partial_{1} (3 x^{2} y^{2}) = 6 x y^{2},$

$\partial_{2, 1}^{2} f = \partial_{2} (2 x y^{3}) = 6 x y^{2} .$

Les deux croisées valent $6 x y^{2}$ : elles coïncident.

Ce n'est pas un hasard : $f$ est polynomiale, donc de classe $C^{2}$ , et le théorème de Schwarz — énoncé au chapitre 10 — garantit cette égalité pour toute fonction de classe $C^{2}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.