mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 5 · Exercice

Des dérivées partielles

Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Dérivées partielles · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer les dérivées partielles d'ordre $1$ de $f (x, y) = 3 x^{2} y - y^{3} + 5$ , puis les évaluer en $(1, 2)$ .

En gelant $y$ : $\partial_{1} f (x, y) = 6 x y$ .

En gelant $x$ : $\partial_{2} f (x, y) = 3 x^{2} - 3 y^{2}$ .

En $(1, 2)$ : $\partial_{1} f = 6 \times 1 \times 2 = 12$ et $\partial_{2} f = 3 - 12 = - 9$ . Donc $\nabla f (1, 2) = (12, - 9)$ .

Contrôle. $∥\nabla f (1, 2) ∥ = 144 + 81 = 15$ : c'est la pente maximale au départ de ce point, atteinte dans la direction $(12, - 9)$ .