Des ellipses comme lignes de niveau

Les niveaux atteints. $f(x,y)=x^2+4y^2$ est une somme de deux carrés, donc $f(x,y)⩾0$ pour tout $(x,y)$. Aucun niveau strictement négatif n'est atteint.

Le niveau $-1$. Il est donc vide : il n'existe aucun point $(x,y)$ tel que $x^2+4y^2=-1$.

Le niveau $0$. $x^2+4y^2=0$ impose que les deux carrés soient nuls, donc $x=0$ et $y=0$. La ligne de niveau $0$ est réduite à un seul point, l'origine.

Le niveau $4$. $x^2+4y^2=4$ s'écrit, en divisant par $4$, $$\frac{x^2}{4}+y^2=1,\text{soit}{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+y^2=1.$$ C'est l'ellipse centrée à l'origine, de demi-axe $2$ selon $x$ (elle passe par $(\pm 2,0)$) et de demi-axe $1$ selon $y$ (elle passe par $(0,\pm 1)$).

L'allure générale. Pour $k>0$, la ligne de niveau $k$ est l'ellipse $\frac{x^2}{k}+\frac{4y^2}{k}=1$, de demi-axes $\sqrt{k}$ et $\frac{\sqrt{k}}{2}$ : toutes ces ellipses sont emboîtées, et grandissent avec $k$. Le gradient $\nabla f(x,y)=(2x,8y)$ ne s'annule qu'à l'origine — l'unique point critique, où $f$ atteint son minimum global $0$.