Des lignes de niveau

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Continuité et lignes de niveau

Énoncé

Décrire les lignes de niveau de $f (x, y) = 2 x - y$ et de $g (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Corrigé

$f$ . $2 x - y = k$ est l'équation d'une droite de pente $2$ . Les lignes de niveau sont donc des droites parallèles, une par valeur de $k$ .

$g$ . $x^{2} + y^{2} = k$ est, pour $k > 0$ , le cercle de centre l'origine et de rayon $k$ . Pour $k = 0$ c'est le seul point $(0, 0)$ , et pour $k < 0$ l'ensemble est vide.

Lien avec le gradient. $\nabla f = (2, - 1)$ , constant et orthogonal aux droites de niveau. $\nabla g (x, y) = (2 x, 2 y)$ , radial et donc orthogonal aux cercles. L'orthogonalité annoncée par le cours se vérifie ici à l'œil.

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