Deux dérivées partielles d'une fonction polynomiale

La dérivée partielle en $x$. On gèle $y$, qui joue le rôle d'une constante, et l'on dérive par rapport à $x$ :

• $x^3{y}^2$ a pour dérivée $3x^2{y}^2$ (le facteur $y^2$ est constant) ;
• $2x$ a pour dérivée $2$ ;
• $-y$ est constant en $x$, sa dérivée est nulle.

$${\partial }_{1}f(x,y)=3x^2{y}^2+2.$$

La dérivée partielle en $y$. On gèle $x$ :

• $x^3{y}^2$ a pour dérivée $2x^{3}y$ ;
• $2x$ est constant en $y$, sa dérivée est nulle ;
• $-y$ a pour dérivée $-1$.

$${\partial }_{2}f(x,y)=2x^{3}y-1.$$

L'évaluation en $(1,-1)$. $${\partial }_{1}f(1,-1)=3\times 1^2\times (-1{)}^2+2=3+2=5,$$ $${\partial }_{2}f(1,-1)=2\times 1^3\times (-1)-1=-2-1=-3.$$

Le gradient. $\nabla f(1,-1)=(5,-3)$. Il n'est pas nul, donc $(1,-1)$ n'est pas un point critique de $f$, et le cours en déduit aussitôt que $f$ n'y admet aucun extremum local.

La règle à retenir. Dériver partiellement, c'est dériver en une variable en traitant les autres comme des constantes. Rien de plus que les règles de première année.