Gradient et dérivées secondes d'un logarithme

Le domaine et la classe. $1+x^2+y^2⩾1>0$ partout, donc $f$ est définie sur ${\mathbb{R}}^2$ ; c'est la composée d'une fonction polynomiale par $\ln$, de classe ${\mathcal{C}}^2$.

Le gradient. Posons $D=1+x^2+y^2$. En gelant $y$, la dérivée de $\ln D$ par rapport à $x$ vaut $\frac{{\partial }_{1}D}{D}=\frac{2x}{D}$. De même en gelant $x$ : $$\nabla f(x,y)=\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2}\right).$$

La dérivée seconde en $x$. On dérive $\frac{2x}{D}$ par rapport à $x$, avec ${\partial }_{1}D=2x$, par la règle du quotient : $${\partial }_{1,1}^{2}f=\frac{2D-2x\cdot 2x}{D^2}=\frac{2(1+x^2+y^2)-4x^2}{D^2}=\frac{2(1-x^2+y^2)}{D^2}.$$

La dérivée seconde en $y$. Par symétrie des rôles de $x$ et $y$ : $${\partial }_{2,2}^{2}f=\frac{2(1+x^2-y^2)}{D^2}.$$

Les deux dérivées croisées. On dérive ${\partial }_{1}f=\frac{2x}{D}$ par rapport à $y$ : le numérateur $2x$ est constant en $y$, et ${\partial }_{2}D=2y$, donc $${\partial }_{2,1}^{2}f=2x\cdot \left(-\frac{2y}{D^2}\right)=\frac{-4xy}{D^2}.$$ De même, en dérivant ${\partial }_{2}f=\frac{2y}{D}$ par rapport à $x$ : $${\partial }_{1,2}^{2}f=2y\cdot \left(-\frac{2x}{D^2}\right)=\frac{-4xy}{D^2}.$$

Conclusion. Les deux dérivées croisées sont égales, comme le prévoit le cours pour une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$. En $(0,0)$ elles valent $0$, et $\nabla f(0,0)=(0,0)$ : l'origine est un point critique.