L'accroissement entre deux points, par le gradient

Ce qu'on montre. Une égalité des accroissements finis en $n$ variables, ramenée à celle d'une variable par restriction à un segment. On s'autorise le théorème des accroissements finis de première année et le théorème de restriction à une droite.

Mise en place. Posons $h=b-a$ et, pour $t\in [0,1]$, $$g(t)=f(a+th).$$ Cette fonction d'une variable réelle est bien définie sur $[0,1]$ — le domaine de $f$ est ${\mathbb{R}}^n$ tout entier — et l'on a $g(0)=f(a)$, $g(1)=f(b)$.

La dérivabilité de $g$. $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$, le théorème de restriction à une droite affirme que $g$ est dérivable, avec $$g^{\prime }(t)=⟨\nabla f(a+th),h⟩.$$ De plus $t\mapsto \nabla f(a+th)$ est continue, donc $g^{\prime }$ l'est aussi : $g$ est continue sur $[0,1]$ et dérivable sur $\left]0,1\right[$, ce qu'exige le théorème des accroissements finis.

L'application du théorème. Il existe donc $\theta \in \left]0,1\right[$ tel que $$g(1)-g(0)=(1-0)g^{\prime }(\theta )=g^{\prime }(\theta ).$$

La traduction. En remplaçant chaque terme par sa valeur : $$f(b)-f(a)=⟨\nabla f(a+\theta h),h⟩=⟨\nabla f(a+\theta (b-a)),b-a⟩,$$ ce qui est l'égalité annoncée. Le point $a+\theta (b-a)$ est un point strictement intérieur au segment joignant $a$ à $b$, puisque $0<\theta <1$.

Le point délicat. Tout repose sur la réduction à une variable : c'est le paramétrage du segment par $t$ qui rend applicable un théorème de première année. Noter qu'on ne connaît pas $\theta$, seulement son existence — comme en dimension $1$.

Une conséquence. Si $\nabla f$ est nul partout, alors $f(b)=f(a)$ pour tous $a,b$ : $f$ est constante.