L'identité des fonctions homogènes

L'idée. On fixe $(x,y)$ et l'on regarde la fonction d'une variable $t\mapsto f(tx,ty)$, que l'on dérive de deux façons.

Mise en place. Posons $h=(x,y)$ et $g(t)=f(th)=f(tx,ty)$. C'est la restriction de $f$ à la droite passant par l'origine et dirigée par $h$. Le théorème du cours sur la restriction à une droite donne, $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$ : $$g^{\prime }(t)=⟨\nabla f(th),h⟩=x{\partial }_{1}f(tx,ty)+y{\partial }_{2}f(tx,ty).$$

La seconde dérivation. L'hypothèse d'homogénéité dit que $g(t)=t^{r}f(x,y)$, où $f(x,y)$ est une constante vis-à-vis de $t$. Donc $$g^{\prime }(t)=r{t}^{r-1}f(x,y).$$

La conclusion. Les deux expressions de $g^{\prime }$ coïncident pour tout $t>0$. En particulier en $t=1$ : $$x{\partial }_{1}f(x,y)+y{\partial }_{2}f(x,y)=rf(x,y),$$ ce qui est l'identité annoncée. Le point délicat est de reconnaître, dans le membre de gauche, un produit scalaire avec le gradient — c'est lui qui autorise à employer le théorème de restriction.

La vérification. Pour $f(x,y)=x^3+3x^{2}y$, on a d'abord l'homogénéité : $$f(tx,ty)=t^3{x}^3+3t^2{x}^2\cdot ty=t^3(x^3+3x^{2}y)=t^{3}f(x,y),$$ donc $r=3$. Puis $${\partial }_{1}f=3x^2+6xy,{\partial }_{2}f=3x^2,$$ et $$x{\partial }_{1}f+y{\partial }_{2}f=3x^3+6x^{2}y+3x^{2}y=3x^3+9x^{2}y=3(x^3+3x^{2}y)=3f(x,y).$$