Le gradient d'un produit avec une exponentielle

La dérivée partielle en $x$. On gèle $y$ : le facteur ${\mathrm{e}}^y$ est alors une constante, et $x\mapsto x$ a pour dérivée $1$. Donc $${\partial }_{1}f(x,y)={\mathrm{e}}^y.$$

La dérivée partielle en $y$. On gèle $x$ : le facteur $x$ est une constante, et $y\mapsto {\mathrm{e}}^y$ est sa propre dérivée. Donc $${\partial }_{2}f(x,y)=x{\mathrm{e}}^y.$$

Le gradient. $$\nabla f(x,y)=({\mathrm{e}}^y,x{\mathrm{e}}^y)={\mathrm{e}}^y(1,x).$$

L'évaluation. En $(2,0)$, avec ${\mathrm{e}}^0=1$ : $$\nabla f(2,0)=(1,2).$$

Une remarque. La première coordonnée du gradient vaut ${\mathrm{e}}^y$, qui est strictement positive pour tout $y$ : elle ne s'annule jamais. Le gradient n'est donc jamais nul, et $f$ n'a aucun point critique — donc aucun extremum local, par la condition nécessaire du premier ordre.

Le contrôle par la restriction. La fonction $t\mapsto f(2+t,0+2t)$ a pour dérivée en $0$ le produit scalaire $⟨(1,2),(1,2)⟩=5$ : $f$ croît dans cette direction, ce qui se voit aussi sur $f(2+t,2t)=(2+t){\mathrm{e}}^{2t}$.