Le gradient d'un produit de trois variables

Les trois dérivées partielles. Pour chacune, on gèle les deux autres variables : $${\partial }_{1}f=yz,{\partial }_{2}f=xz,{\partial }_{3}f=xy.$$ Donc $$\nabla f(x,y,z)=(yz,xz,xy).$$

L'évaluation. En $(1,2,3)$ : $$\nabla f(1,2,3)=(2\times 3,1\times 3,1\times 2)=(6,3,2).$$

Les points critiques. Ce sont les points où les trois dérivées partielles s'annulent simultanément : $$yz=0,xz=0,xy=0.$$ La première équation impose $y=0$ ou $z=0$. Examinons les deux cas.

Si $y=0$, la troisième équation est déjà satisfaite, et il reste $xz=0$, donc $x=0$ ou $z=0$.

Si $z=0$, il reste $xy=0$, donc $x=0$ ou $y=0$.

La description. Dans tous les cas, au moins deux des trois coordonnées sont nulles. L'ensemble des points critiques est donc la réunion des trois axes de coordonnées : $$\{(x,0,0)\}\cup \{(0,y,0)\}\cup \{(0,0,z)\}.$$ En chacun de ces points $f$ vaut $0$, et ce n'est jamais un extremum : au voisinage de l'origine, $f(t,t,t)=t^3$ prend des valeurs des deux signes.