Le gradient et la direction de plus forte pente

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Gradient et restriction à une droite

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + 3 y^{2}$ et $x_{0} = (1, 1)$ . Dans quelle direction $f$ croît-elle le plus vite au départ de $x_{0}$ ? De combien ?

Corrigé

$\nabla f (x, y) = (2 x, 6 y)$ , donc $\nabla f (1, 1) = (2, 6)$ .

Direction. La croissance est la plus forte dans la direction du gradient, soit $(2, 6)$ — ou, normalisée, $\frac{1}{40} (2, 6)$ .

Vitesse. Pour une direction $h$ de norme $1$ , la vitesse est $⟨ \nabla f (x_{0}), h ⟩$ , majorée par $∥\nabla f (x_{0}) ∥ = 40 = 210 \approx 6, 32$ , avec égalité pour $h$ colinéaire au gradient.

Contrôle. Dans la direction $(1, 0)$ , la vitesse n'est que $⟨(2, 6), (1, 0)⟩ = 2$ ; dans la direction $(0, 1)$ , elle vaut $6$ . La direction du gradient fait mieux que les deux.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.