Le gradient et la direction de plus forte pente

$\nabla f(x,y)=(2x,6y)$, donc $\nabla f(1,1)=(2,6)$.

Direction. La croissance est la plus forte dans la direction du gradient, soit $(2,6)$ — ou, normalisée, $\frac{1}{\sqrt{40}}(2,6)$.

Vitesse. Pour une direction $h$ de norme $1$, la vitesse est $⟨\nabla f(x_0),h⟩$, majorée par $\Vert \nabla f(x_0)\Vert =\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$, avec égalité pour $h$ colinéaire au gradient.

Contrôle. Dans la direction $(1,0)$, la vitesse n'est que $⟨(2,6),(1,0)⟩=2$ ; dans la direction $(0,1)$, elle vaut $6$. La direction du gradient fait mieux que les deux.