Le gradient et la ligne de niveau

Le point reste au niveau $1$. $$f(\gamma (t))={\cos }^{2}t+4\times \frac{1}{4}{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1.$$ La ligne de niveau $1$ est donc parcourue en entier par $\gamma$ : c'est l'ellipse d'équation $x^2+4y^2=1$.

L'orthogonalité. Le gradient vaut $\nabla f(x,y)=(2x,8y)$, donc $$\nabla f(\gamma (t))=\left(2\cos t,8\times \frac{1}{2}\sin t\right)=(2\cos t,4\sin t).$$ Le produit scalaire avec ${\gamma }^{\prime }(t)$ vaut $$⟨(2\cos t,4\sin t),(-\sin t,\frac{1}{2}\cos t)⟩=-2\sin t\cos t+2\sin t\cos t=0.$$ Le gradient est donc orthogonal à la direction dans laquelle on se déplace le long de la ligne de niveau, et cela en tout point de l'ellipse.

Le cas d'une droite, en général. Posons $g(t)=f(x_0+th)$. La fonction $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$, le théorème de restriction à une droite donne $g^{\prime }(0)=⟨\nabla f(x_0),h⟩$. Si $g$ est constante, alors $g^{\prime }$ est nulle partout, en particulier $g^{\prime }(0)=0$, d'où $$⟨\nabla f(x_0),h⟩=0.$$

Ce que cela signifie. Dans toute direction où $f$ ne varie pas, le gradient a une composante nulle : il est perpendiculaire aux lignes de niveau. C'est le pendant exact de l'interprétation de plus forte pente — le gradient pointe là où $f$ monte le plus vite, donc à angle droit de là où elle ne bouge pas.

Le point à retenir. L'orthogonalité gradient / ligne de niveau n'est pas une image : c'est un produit scalaire nul, et il se vérifie par le calcul, coordonnée par coordonnée.