Le produit $xy$ vu depuis l'origine

Le gradient. En gelant $y$, puis $x$ : $${\partial }_{1}f(x,y)=y,{\partial }_{2}f(x,y)=x,\text{donc}\nabla f(x,y)=(y,x).$$

L'unique point critique. $\nabla f(x,y)=(0,0)$ s'écrit $y=0$ et $x=0$ : le seul point critique est l'origine, où $f$ vaut $0$.

Le comportement sur deux droites. Regardons $f$ le long des deux bissectrices, en prenant $t$ aussi petit qu'on veut : $$f(t,t)=t^2>0\text{pour }t\ne 0,f(t,-t)=-t^2<0\text{pour }t\ne 0.$$

La conclusion. Soit $r>0$ quelconque. Dans le disque de centre $(0,0)$ et de rayon $r$, on trouve un point où $f$ est strictement positive — prendre $t=\frac{r}{2}$ dans la première formule — et un point où $f$ est strictement négative. Donc, dans tout voisinage de l'origine, $f$ prend des valeurs à la fois supérieures et inférieures à $f(0,0)=0$ : ce n'est ni un maximum local, ni un minimum local.

Le nom. Un tel point s'appelle un point col : la fonction y monte dans une direction et descend dans une autre, comme un col de montagne entre deux sommets.

La leçon. La condition $\nabla f(x_0)=0$ est nécessaire pour un extremum local, jamais suffisante. Elle sert à dresser une liste de candidats ; il faut ensuite trancher, ici par l'examen direct de deux directions.