Les lignes de niveau d'un produit

La continuité. $f$ est une fonction polynomiale des deux variables. Or les fonctions polynomiales sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier : aucun point n'est à examiner.

Le niveau $0$. L'équation $xy=0$ équivaut à $x=0$ ou $y=0$, car un produit de deux réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est. La ligne de niveau $0$ est donc la réunion des deux axes de coordonnées. C'est le point qui surprend : ce n'est pas une courbe, mais deux droites qui se croisent à l'origine.

Le niveau $1$. L'équation $xy=1$ impose $x\ne 0$ et s'écrit alors $y=\frac{1}{x}$. C'est une hyperbole, formée de deux branches : l'une dans le quadrant où $x>0$ et $y>0$, l'autre dans celui où $x<0$ et $y<0$ — puisque le produit doit être positif, les deux coordonnées sont de même signe.

Le niveau $-1$. De même $y=-\frac{1}{x}$ : c'est l'hyperbole symétrique de la précédente par rapport à l'axe des abscisses, dont les deux branches occupent cette fois les quadrants où $x$ et $y$ sont de signes contraires.

Une vérification. $(2,\frac{1}{2})$ est au niveau $1$, $(2,-\frac{1}{2})$ au niveau $-1$, $(2,0)$ au niveau $0$ : chacun sur une seule ligne, car deux lignes de niveau ne se coupent jamais.

Le point à retenir. Les lignes de niveau ne sont pas toujours des courbes régulières. Celle qui passe par un point où le gradient s'annule — ici l'origine, où $\nabla f=(y,x)=(0,0)$ — peut présenter un croisement.