Les lignes de niveau d'une différence de carrés

La continuité. $f$ est une fonction polynomiale des deux variables : le cours affirme que de telles fonctions sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier. Aucune vérification n'est à faire.

Le niveau $0$. $x^2-y^2=0$ s'écrit $(x-y)(x+y)=0$, donc $y=x$ ou $y=-x$ : la ligne de niveau $0$ est la réunion des deux bissectrices $$\{(x,x)\mid x\in \mathbb{R}\}\cup \{(x,-x)\mid x\in \mathbb{R}\}.$$ C'est le seul niveau qui ne soit pas une courbe régulière : les deux droites se croisent à l'origine.

Le niveau $1$. $x^2-y^2=1$ donne $x^2=1+y^2⩾1$, donc $|x|⩾1$ et $x=\pm \sqrt{1+y^2}$. La ligne de niveau est formée de deux branches, l'une dans le demi-plan $x⩾1$, l'autre dans $x⩽-1$ ; elles passent par $(1,0)$ et $(-1,0)$ et s'écartent en s'approchant des bissectrices quand $|y|$ grandit.

Le niveau $-1$. $x^2-y^2=-1$ s'écrit $y^2-x^2=1$, soit $y=\pm \sqrt{1+x^2}$ : deux branches, cette fois au-dessus de $y=1$ et au-dessous de $y=-1$. On passe des unes aux autres en échangeant les rôles de $x$ et $y$, ce que confirme $f(y,x)=-f(x,y)$.

Ce que le dessin apprend. Les lignes de niveau se resserrent contre les deux bissectrices, qui portent le niveau $0$. Le gradient $\nabla f(x,y)=(2x,-2y)$ s'annule uniquement en $(0,0)$ : c'est le point où les lignes se croisent, et l'unique point critique de $f$.