Les lignes de niveau d'une fonction affine

La ligne de niveau $0$. Par définition, c'est l'ensemble des $(x,y)$ tels que $f(x,y)=0$, soit $$3x+2y-1=0,\text{c’est-aˋ-dire}y=\frac{1-3x}{2}.$$ C'est la droite de pente $-\frac{3}{2}$ passant par $(\frac{1}{3},0)$ et $(0,\frac{1}{2})$.

La ligne de niveau $5$. $3x+2y-1=5$ donne $3x+2y=6$, soit $$y=\frac{6-3x}{2}=3-\frac{3x}{2}.$$ C'est encore une droite de pente $-\frac{3}{2}$ : elle est parallèle à la précédente.

Le gradient. En gelant $y$ puis $x$ : $${\partial }_{1}f(x,y)=3,{\partial }_{2}f(x,y)=2,\text{donc}\nabla f(x,y)=(3,2).$$ Il est constant : il ne dépend pas du point où on le calcule, ce qui est propre aux fonctions affines.

Le lien. Le vecteur $(3,2)$ est orthogonal à la direction $(2,-3)$ des lignes de niveau, puisque $⟨(3,2),(2,-3)⟩=6-6=0$. Le gradient est perpendiculaire aux lignes de niveau, et il pointe vers les niveaux croissants : en partant d'un point de la droite de niveau $0$ dans la direction $(3,2)$, on trouve $f((x,y)+t(3,2))=0+t(9+4)=13t$, qui augmente avec $t$.