Les quatre dérivées secondes et l'égalité des croisées

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Dérivées partielles

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + 3 x y + y^{2}$ . Calculer les quatre dérivées partielles secondes de $f$ et vérifier que les deux croisées coïncident.

Corrigé

Les dérivées premières. En gelant tour à tour chaque variable : $\partial_{1} f (x, y) = 2 x + 3 y, \partial_{2} f (x, y) = 3 x + 2 y .$

Les deux dérivées secondes « pures ». On dérive $\partial_{1} f$ par rapport à $x$ , puis $\partial_{2} f$ par rapport à $y$ : $\partial_{1, 1}^{2} f = \frac{\partial}{\partial x} (2 x + 3 y) = 2, \partial_{2, 2}^{2} f = \frac{\partial}{\partial y} (3 x + 2 y) = 2.$

Les deux dérivées croisées. On dérive $\partial_{1} f$ par rapport à $y$ , puis $\partial_{2} f$ par rapport à $x$ : $\partial_{2, 1}^{2} f = \frac{\partial}{\partial y} (2 x + 3 y) = 3, \partial_{1, 2}^{2} f = \frac{\partial}{\partial x} (3 x + 2 y) = 3.$

La vérification. Les deux croisées valent $3$ : elles coïncident, comme le prévoit le cours pour une fonction de classe $C^{2}$ — et $f$ , polynomiale, l'est bien.

Ce que cela signifie. L'ordre dans lequel on dérive n'a pas d'importance : dériver d'abord en $x$ puis en $y$ , ou l'inverse, donne le même résultat. C'est un fait admis, mais qui n'a rien d'évident, et il fournit un contrôle de calcul commode : si les deux croisées diffèrent, c'est qu'une dérivée est fausse.

Une remarque. Ici les quatre dérivées secondes sont constantes, ce qui est propre aux polynômes de degré $2$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.