Quand les points critiques forment une droite

Le gradient. En dérivant par rapport à $x$ à $y$ gelé, puis l'inverse : $${\partial }_{1}f(x,y)=2(x-y),{\partial }_{2}f(x,y)=-2(x-y),$$ donc $$\nabla f(x,y)=2(x-y)(1,-1).$$

L'ensemble des points critiques. $\nabla f(x,y)=(0,0)$ équivaut à $2(x-y)=0$, c'est-à-dire $y=x$. L'ensemble des points critiques est donc la droite $$\Delta =\{(x,x)\mid x\in \mathbb{R}\},$$ et non un point isolé. Rien dans le cours n'interdit cela : la condition $\nabla f=0$ est un système, et un système peut avoir une infinité de solutions.

Le minimum global. Pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $$f(x,y)=(x-y{)}^2⩾0,$$ un carré étant positif. Et $f$ vaut $0$ en tout point de $\Delta$ : par exemple $f(0,0)=0$. Donc $$\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,f(x,y)⩾0=f(0,0),$$ ce qui est exactement la définition d'un minimum global, atteint en $(0,0)$ — et de même en tout point de $\Delta$.

Le cas d'égalité. $f(x,y)=0$ équivaut à $(x-y{)}^2=0$, soit $y=x$ : l'ensemble des points où le minimum est atteint est précisément $\Delta$. Points critiques et points de minimum coïncident ici, mais c'est une coïncidence heureuse, pas une règle.

Le point délicat. La condition du premier ordre a fourni des candidats ; c'est la minoration $f⩾0$, obtenue à la main, qui conclut. Le gradient ne dit jamais à lui seul qu'un point critique est un extremum.