Trois points critiques, et un qui n'est pas un extremum

Le gradient. $${\partial }_{1}f=4x^3-4y,{\partial }_{2}f=4y^3-4x.$$

Le système. $\nabla f=(0,0)$ s'écrit $y=x^3$ et $x=y^3$. En reportant la première dans la seconde : $$x=(x^3{)}^3=x^9,\text{soit}x(x^8-1)=0.$$ Donc $x=0$, ou $x^8=1$ c'est-à-dire $x=\pm 1$ — les seules racines réelles, la fonction $t\mapsto t^8$ étant paire et strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

Les trois points. Pour $x=0$ : $y=0$. Pour $x=1$ : $y=1$. Pour $x=-1$ : $y=-1$. Les points critiques sont $$(0,0),(1,1),(-1,-1),$$ et l'on vérifie qu'ils satisfont aussi la seconde équation : $1=1^3$ et $-1=(-1{)}^3$. Les valeurs de $f$ y sont $0$, $1+1-4=-2$ et $1+1-4=-2$.

L'origine n'est pas un extremum. On regarde $f$ le long de deux droites passant par l'origine.

Sur la première bissectrice, $f(t,t)=2t^4-4t^2=2t^2(t^2-2)$. Pour $0<|t|<\sqrt{2}$, le facteur $t^2-2$ est négatif, donc $f(t,t)<0=f(0,0)$.

Sur la seconde bissectrice, $f(t,-t)=2t^4+4t^2>0=f(0,0)$ dès que $t\ne 0$.

Conclusion. Dans tout disque centré en l'origine, si petit soit-il, $f$ prend des valeurs strictement inférieures et strictement supérieures à $f(0,0)$ : l'origine n'est ni un maximum local, ni un minimum local. C'est un point col.

Le point délicat. Un point critique n'est pas un extremum : la condition du premier ordre est nécessaire, jamais suffisante. Ici les deux autres points critiques, eux, sont bien des minima — $f$ y vaut $-2$.