Un minimum global en trois variables

Le gradient. En dérivant par rapport à chaque variable, les deux autres étant gelées : $${\partial }_{1}f=2x-y,{\partial }_{2}f=2y-x-z,{\partial }_{3}f=2z-y.$$

Le système. $\nabla f=(0,0,0)$ s'écrit $$2x-y=0,2y-x-z=0,2z-y=0.$$ La première donne $y=2x$, la troisième $y=2z$ : donc $2x=2z$, soit $z=x$. En reportant dans la deuxième : $2(2x)-x-x=2x=0$, d'où $x=0$, puis $y=0$ et $z=0$. L'unique point critique est l'origine, où $f$ vaut $0$.

La minoration. C'est le point délicat : on écrit $f$ comme une somme de carrés. Développons $$\frac{1}{2}(x-y{)}^2+\frac{1}{2}(y-z{)}^2+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{z}^2.$$ Le premier terme donne $\frac{1}{2}{x}^2-xy+\frac{1}{2}{y}^2$, le deuxième $\frac{1}{2}{y}^2-yz+\frac{1}{2}{z}^2$. En ajoutant les deux derniers : $$\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}{z}^2+\frac{1}{2}{z}^2-xy-yz=x^2+y^2+z^2-xy-yz=f(x,y,z).$$

La conclusion. Cette somme de quatre carrés est positive ou nulle, donc $$\forall (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3,f(x,y,z)⩾0=f(0,0,0).$$ $f$ admet donc un minimum global, égal à $0$, atteint en $(0,0,0)$.

L'unicité du point de minimum. L'égalité $f=0$ impose que les quatre carrés soient nuls, donc en particulier $x=0$ et $z=0$, puis $x=y$ donne $y=0$. Le minimum n'est atteint qu'à l'origine — cohérent avec le fait qu'il n'y ait qu'un seul point critique.