Un point critique

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Points critiques

Énoncé

Déterminer les points critiques de $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 1$ .

Corrigé

$\partial_{1} f = 2 x - 4$ et $\partial_{2} f = 2 y + 6$ . Le gradient s'annule si et seulement si $x = 2$ et $y = - 3$ .

Unique point critique : $(2, - 3)$ .

Sa nature, sans le critère du chapitre 10. On peut écrire

$f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + 1 - 4 - 9 = (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} - 12.$

Les deux carrés sont positifs ou nuls, donc $f (x, y) ⩾ - 12$ avec égalité exactement en $(2, - 3)$ : c'est un minimum global, et il vaut $- 12$ .

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