Un point critique qui n'est pas un extremum

Points critiques. ${\partial }_{1}f=3x^2-3y$ et ${\partial }_{2}f=-3x$. Le gradient s'annule si $x=0$ (seconde équation), puis $y=x^2=0$. Donc $(0,0)$ est le seul point critique, et $f(0,0)=0$.

Pas un extremum. Regardons $f$ le long de deux droites passant par l'origine :

$$f(t,0)=t^3,f(0,t)=0,f(t,t)=t^3-3t^2=t^2(t-3).$$

La première prend des valeurs strictement positives ($t>0$) et strictement négatives ($t<0$) aussi près de l'origine qu'on veut. Donc $f$ ne peut y avoir ni maximum ni minimum local.

Suffisait-il d'une seule droite ? Oui, ici : $f(t,0)=t^3$ change de signe. Une seule direction bien choisie peut suffire à écarter un extremum — mais aucune ne suffit jamais à en établir un.