Un unique point critique

Le gradient. En gelant tour à tour chaque variable : $${\partial }_{1}f(x,y)=2x-2,{\partial }_{2}f(x,y)=2y+4.$$

Le système. $\nabla f(x,y)=(0,0)$ s'écrit $$2x-2=0\text{et}2y+4=0,$$ soit $x=1$ et $y=-2$. Les deux équations sont indépendantes — chacune ne fait intervenir qu'une variable —, donc il y a un unique point critique : $$(1,-2).$$

La valeur de $f$. $$f(1,-2)=1^2+(-2{)}^2-2\times 1+4\times (-2)=1+4-2-8=-5.$$

Un mot de plus. On peut ici aller au-delà de la condition nécessaire, en complétant les carrés : $$f(x,y)=(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)-1-4=(x-1{)}^2+(y+2{)}^2-5.$$ Cette écriture montre que $f(x,y)⩾-5$ pour tout $(x,y)$, avec égalité si et seulement si $x=1$ et $y=-2$. Le point critique est donc un minimum global, et c'est le seul point où il est atteint.

Le point à retenir. Le gradient a fourni le candidat ; c'est la mise sous forme de somme de carrés — un calcul à la main — qui a permis de conclure. La condition du premier ordre ne tranche jamais à elle seule.