Une Cobb-Douglas

Une Cobb-Douglas

Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Dérivées partielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (K, L) = K^{α} L^{1 - α}$ avec $0 < α < 1$ , sur les valeurs strictement positives. Calculer $\nabla f$ , puis vérifier que $K \partial_{1} f + L \partial_{2} f = f$ .

Corrigé

Gradient.

$\partial_{1} f = α K^{α - 1} L^{1 - α}, \partial_{2} f = (1 - α) K^{α} L^{- α} .$

L'identité.

$K \partial_{1} f + L \partial_{2} f = α K^{α} L^{1 - α} + (1 - α) K^{α} L^{1 - α} = (α + 1 - α) K^{α} L^{1 - α} = f .$

L'interprétation économique. Cette identité — dite d'Euler — traduit les rendements d'échelle constants : doubler à la fois le capital et le travail double exactement la production. On le vérifie directement : $f (2 K, 2 L) = 2^{α} 2^{1 - α} K^{α} L^{1 - α} = 2 f (K, L)$ .

Énoncé

Corrigé

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