Une direction dans laquelle la fonction ne varie pas

Le gradient. ${\partial }_{1}f=2x$ et ${\partial }_{2}f=6y$, donc $$\nabla f(1,1)=(2,6).$$

La dérivée directionnelle. Posons $g(t)=f(x_0+th)$ avec $h=(h_1,h_2)$. Le théorème de restriction à une droite donne $$g^{\prime }(0)=⟨\nabla f(x_0),h⟩=2h_1+6h_2.$$

Les directions cherchées. $g^{\prime }(0)=0$ équivaut à $2h_1+6h_2=0$, soit $h_1=-3h_2$. Les directions convenables sont donc les multiples non nuls de $$h=(-3,1)$$ — autrement dit, exactement les vecteurs orthogonaux au gradient $\nabla f(1,1)=(2,6)$, puisque $⟨(2,6),(-3,1)⟩=-6+6=0$.

L'interprétation. Le développement limité d'ordre $1$ s'écrit $f(x_0+th)=f(x_0)+t{g}^{\prime }(0)+o(t)$ : quand $g^{\prime }(0)=0$, la fonction ne varie pas au premier ordre dans la direction $h$. Or la ligne de niveau passant par $x_0$ est $$x^2+3y^2=f(1,1)=4,$$ une ellipse. La direction $(-3,1)$ est celle de sa tangente en $(1,1)$ : se déplacer le long d'une ligne de niveau, c'est ne pas faire varier $f$.

Le contraste. Dans la direction du gradient, au contraire, la variation est maximale : par Cauchy-Schwarz, $|g^{\prime }(0)|⩽\Vert \nabla f(x_0)\Vert \Vert h\Vert$, avec égalité exactement lorsque $h$ est colinéaire à $\nabla f(x_0)$. Le gradient donne la plus forte pente, ses orthogonaux donnent la pente nulle.

Attention. « Ne pas varier au premier ordre » n'est pas « ne pas varier » : le long de la droite $x_0+t(-3,1)$, $f$ varie bien, mais son accroissement est en $t^2$.