Une exponentielle à deux variables

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 — Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Dérivées partielles

Énoncé

Soit $f (x, y) = x e^{x y}$ . Calculer $\nabla f$ , puis les quatre dérivées partielles secondes, et vérifier que les deux dérivées croisées coïncident.

Corrigé

Les dérivées premières. On gèle $y$ (produit, et la dérivée de $x \mapsto e^{x y}$ vaut $y e^{x y}$ ), puis $x$ (le facteur de tête devient une constante) : $\nabla f (x, y) = ((1 + x y) e^{x y}, x^{2} e^{x y}) .$

Les dérivées secondes. En dérivant $\partial_{1} f = (1 + x y) e^{x y}$ par rapport à $x$ puis à $y$ : $\partial_{1, 1}^{2} f = y e^{x y} + (1 + x y) y e^{x y} = y (2 + x y) e^{x y}, \partial_{1, 2}^{2} f = x e^{x y} + (1 + x y) x e^{x y} = x (2 + x y) e^{x y} .$ En dérivant $\partial_{2} f = x^{2} e^{x y}$ par rapport à $x$ puis à $y$ : $\partial_{2, 1}^{2} f = 2 x e^{x y} + x^{2} y e^{x y} = x (2 + x y) e^{x y}, \partial_{2, 2}^{2} f = x^{3} e^{x y} .$

Les croisées coïncident. $\partial_{1, 2}^{2} f = \partial_{2, 1}^{2} f = x (2 + x y) e^{x y}$ , alors que les deux calculs ne se ressemblent pas : l'un factorise $(1 + x y)$ , l'autre dérive un carré. En $(1, 0)$ , les deux valent $2$ .

Le point à retenir. L'égalité des dérivées croisées n'est pas un hasard de calcul : elle vaut pour toute fonction de classe $C^{2}$ , et c'est le contrôle le moins cher d'un calcul de dérivées secondes — si les deux croisées diffèrent, il y a une faute.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.