Une exponentielle à deux variables

Les dérivées premières. On gèle $y$ (produit, et la dérivée de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{xy}$ vaut $y{\mathrm{e}}^{xy}$), puis $x$ (le facteur de tête devient une constante) : $$\nabla f(x,y)=((1+xy){\mathrm{e}}^{xy},x^2{\mathrm{e}}^{xy}).$$

Les dérivées secondes. En dérivant ${\partial }_{1}f=(1+xy){\mathrm{e}}^{xy}$ par rapport à $x$ puis à $y$ : $${\partial }_{1,1}^{2}f=y{\mathrm{e}}^{xy}+(1+xy)y{\mathrm{e}}^{xy}=y(2+xy){\mathrm{e}}^{xy},{\partial }_{1,2}^{2}f=x{\mathrm{e}}^{xy}+(1+xy)x{\mathrm{e}}^{xy}=x(2+xy){\mathrm{e}}^{xy}.$$ En dérivant ${\partial }_{2}f=x^2{\mathrm{e}}^{xy}$ par rapport à $x$ puis à $y$ : $${\partial }_{2,1}^{2}f=2x{\mathrm{e}}^{xy}+x^{2}y{\mathrm{e}}^{xy}=x(2+xy){\mathrm{e}}^{xy},{\partial }_{2,2}^{2}f=x^3{\mathrm{e}}^{xy}.$$

Les croisées coïncident. ${\partial }_{1,2}^{2}f={\partial }_{2,1}^{2}f=x(2+xy){\mathrm{e}}^{xy}$, alors que les deux calculs ne se ressemblent pas : l'un factorise $(1+xy)$, l'autre dérive un carré. En $(1,0)$, les deux valent $2$.

Le point à retenir. L'égalité des dérivées croisées n'est pas un hasard de calcul : elle vaut pour toute fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$, et c'est le contrôle le moins cher d'un calcul de dérivées secondes — si les deux croisées diffèrent, il y a une faute.