Une exponentielle de fonction affine

La continuité. $f$ est la composée de la fonction polynomiale $(x,y)\mapsto x+2y$, continue sur ${\mathbb{R}}^2$, par la fonction exponentielle, continue sur $\mathbb{R}$. Le cours affirme qu'une telle composée est continue : $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

Les niveaux atteints. L'exponentielle est à valeurs strictement positives, et $x+2y$ décrit $\mathbb{R}$ tout entier (prendre $y=0$ et $x$ variable). Donc $f$ prend exactement les valeurs de $\left]0,+\infty \right[$ : la ligne de niveau $k$ est vide pour $k⩽0$.

Les lignes de niveau, pour $k>0$. L'exponentielle étant injective, $${\mathrm{e}}^{x+2y}=k⟺x+2y=\ln k,$$ donc la ligne de niveau $k$ est la droite d'équation $x+2y=\ln k$, c'est-à-dire $y=\frac{1}{2}(\ln k-x)$. Toutes ces droites ont la même pente $-\frac{1}{2}$ : ce sont des droites parallèles, comme pour une fonction affine — ce qui n'a rien d'étonnant, $f$ ne dépendant de $(x,y)$ que par la quantité $x+2y$.

Le gradient. En gelant $y$ puis $x$ : $${\partial }_{1}f(x,y)={\mathrm{e}}^{x+2y},{\partial }_{2}f(x,y)=2{\mathrm{e}}^{x+2y},$$ donc $$\nabla f(x,y)={\mathrm{e}}^{x+2y}(1,2).$$

Le lien entre les deux. Le gradient est en tout point colinéaire à $(1,2)$, qui est orthogonal à la direction $(2,-1)$ des lignes de niveau : $⟨(1,2),(2,-1)⟩=2-2=0$. Le gradient est bien perpendiculaire aux lignes de niveau, et il ne s'annule jamais — $f$ n'a aucun point critique.