mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 5 · Exercice

Une fonction de trois variables

Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Points critiques · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 2 x z$ . Calculer $\nabla f$ et déterminer les points critiques.

Corrigé

$\partial_{1} f = 2 x - 2 z, \partial_{2} f = 4 y, \partial_{3} f = 6 z - 2 x .$

Le gradient s'annule quand $x = z$ , $y = 0$ et $3 z = x$ . Des deux relations $x = z$ et $x = 3 z$ on tire $z = 3 z$ , donc $z = 0$ , puis $x = 0$ .

Unique point critique : l'origine $(0, 0, 0)$ , où $f$ vaut $0$ .

Sa nature. On peut écrire $f = (x - z)^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2}$ , somme de trois carrés positifs, nulle seulement en $(0, 0, 0)$ : c'est un minimum global.

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