Une fonction sans aucun point critique

La dérivée partielle en $x$. On gèle $y$ et l'on dérive un produit, la dérivée de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$ étant $-{\mathrm{e}}^{-x}$ : $${\partial }_{1}f(x,y)=1\cdot {\mathrm{e}}^{-x}+(x+y)\cdot (-{\mathrm{e}}^{-x})={\mathrm{e}}^{-x}(1-x-y).$$

La dérivée partielle en $y$. On gèle $x$ : le facteur ${\mathrm{e}}^{-x}$ est alors une constante, et $y\mapsto x+y$ a pour dérivée $1$ : $${\partial }_{2}f(x,y)={\mathrm{e}}^{-x}.$$

Le gradient. $$\nabla f(x,y)=({\mathrm{e}}^{-x}(1-x-y),{\mathrm{e}}^{-x}).$$

Aucun point critique. Un point critique est un point où le gradient s'annule, donc où les deux dérivées partielles sont nulles. Or la seconde vaut ${\mathrm{e}}^{-x}$, qui est strictement positive pour tout réel $x$ : elle ne s'annule jamais. Le système $\nabla f(x,y)=(0,0)$ n'a donc aucune solution, et $f$ n'a aucun point critique.

La conséquence. Le cours donne la condition nécessaire du premier ordre : si $f$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, admet un extremum local en $x_0$, alors $\nabla f(x_0)=0$. Par contraposée, comme le gradient ne s'annule nulle part, $f$ n'admet aucun extremum local — ni maximum, ni minimum, ni local, ni a fortiori global.

Le point délicat. On conclut ici sans jamais étudier le comportement de $f$ : c'est la contraposée d'une condition nécessaire qui fait tout le travail. Elle ne sert qu'à cela, éliminer ; elle ne dit jamais qu'un point critique est un extremum.