Une restriction à une droite

Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel · Gradient et restriction à une droite · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x, y) = x y$ et $g (t) = f ((1, 2) + t (3, - 1))$ . Calculer $g (t)$ , puis $g^{'} (0)$ de deux façons.

Directement. $(1, 2) + t (3, - 1) = (1 + 3 t, 2 - t)$ , donc

$g (t) = (1 + 3 t) (2 - t) = 2 + 5 t - 3 t^{2}, g^{'} (t) = 5 - 6 t, g^{'} (0) = 5.$

Par le gradient. $\nabla f (x, y) = (y, x)$ , donc $\nabla f (1, 2) = (2, 1)$ , et

$g^{'} (0) = ⟨ \nabla f (1, 2), (3, - 1) ⟩ = 2 \times 3 + 1 \times (- 1) = 5.$

Les deux méthodes concordent. La seconde évite de développer, ce qui compte dès que $f$ est compliquée.