Une valeur approchée par le développement d'ordre un

La valeur et le gradient au point. $f(1,2)=1+2+4=7$. Les dérivées partielles sont ${\partial }_{1}f=2x+y$ et ${\partial }_{2}f=x+2y$, donc $$\nabla f(1,2)=(2+2,1+4)=(4,5).$$

Le développement. $f$ est polynomiale donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et pour $h=(h_1,h_2)$ : $$f((1,2)+h)=7+⟨(4,5),h⟩+\Vert h\Vert \epsilon (h)=7+4h_1+5h_2+\Vert h\Vert \epsilon (h),$$ avec $\epsilon (h)\to 0$ quand $h\to 0$.

L'application numérique. $(1,02;1,97)=(1,2)+(0,02;-0,03)$, donc $h_1=0,02$ et $h_2=-0,03$ : $$f(1,02;1,97)\approx 7+4\times 0,02+5\times (-0,03)=7+0,08-0,15=6,93.$$

La valeur exacte. $1,02^2=1,0404$, $1,02\times 1,97=2,0094$ et $1,97^2=3,8809$, dont la somme vaut $6,9307$. L'écart avec l'approximation est de $7\times 10^{-4}$.

D'où vient l'écart. En développant, $f(1+h_1,2+h_2)=7+4h_1+5h_2+(h_1^2+h_1{h}_2+h_2^2)$ : le terme d'erreur vaut $0,0004-0,0006+0,0009=0,0007$, l'écart mesuré.

Le point à retenir. L'approximation d'ordre $1$ remplace la fonction par son plan tangent. L'erreur est du second ordre en $\Vert h\Vert$ : diviser le déplacement par $10$ divise l'erreur par environ $100$.