Appliquer la formule de l'espérance totale

Le système complet. Les deux événements $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles et leur réunion est $\Omega$ : ils forment un système complet d'événements. Leurs probabilités sont $$P(A)=0,4,P\left(\overline{A}\right)=1-0,4=0,6,$$ toutes deux non nulles, ce qui est requis pour appliquer la formule.

La formule. Le cours donne $$E(X)=E(X/A)P(A)+E(X/\overline{A})P\left(\overline{A}\right).$$

Le calcul. $$E(X)=10\times 0,4+5\times 0,6=4+3=7.$$

Un contrôle de vraisemblance. $E(X)=7$ est compris entre les deux espérances conditionnelles $5$ et $10$ : c'est nécessairement le cas, une moyenne pondérée de deux nombres se situant toujours entre eux. Et $7$ est plus proche de $5$ que de $10$, ce qui est cohérent : c'est le cas $\overline{A}$ qui pèse le plus, avec un poids de $0,6$.

Ce que la formule fait. Elle calcule une moyenne en deux temps : d'abord la moyenne dans chaque cas, puis la moyenne des cas, pondérée par leurs probabilités. On n'a jamais eu besoin de connaître la loi de $X$.