Deux piles consécutifs

Le système complet. Les trois événements $A$ = « face au premier lancer », $B$ = « pile puis pile » et $C$ = « pile puis face » sont deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$, avec $P(A)=\frac{1}{2}$ et $P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$.

Sachant $A$. Un lancer est consommé et la situation est identique au départ : le nombre de lancers restants suit la loi de $N$, donc $E(N/A)=1+E(N)$.

Sachant $B$. Tout est fini en deux lancers : $E(N/B)=2$.

Sachant $C$. Deux lancers sont consommés, et le « face » efface l'avance prise : on repart de l'état initial, donc $E(N/C)=2+E(N)$.

La formule de l'espérance totale.

$$E(N)=\frac{1}{2}(1+E(N))+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}(2+E(N))=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}E(N).$$

D'où $\frac{1}{4}E(N)=\frac{3}{2}$, soit $E(N)=6$.

Le point délicat. Il faut pousser le découpage jusqu'à ce que chaque cas soit conclu ou strictement identique au départ. Conditionner sur le seul premier lancer ne suffit pas : après un « pile », on n'est plus dans l'état initial, mais dans un état d'attente qu'il faut nommer.