Deux urnes

Deux urnes

Compléments sur les variables aléatoires réelles · Formule de l'espérance totale · niveau 2

Énoncé

Une urne $U_{1}$ contient des boules numérotées $1$ à $10$ , une urne $U_{2}$ des boules numérotées $1$ à $4$ . On choisit $U_{1}$ avec probabilité $0, 7$ , puis on tire une boule au hasard. Soit $X$ le numéro obtenu. Calculer $E (X)$ .

Corrigé

Le système complet est ${A_{1}, A_{2}}$ , où $A_{i}$ = « on a choisi $U_{i}$ », avec $P (A_{1}) = 0, 7$ et $P (A_{2}) = 0, 3$ .

Espérances conditionnelles. Sachant $A_{1}$ , $X$ est uniforme sur ${1, \dots, 10}$ : $E (X / A_{1}) = \frac{1 + \dots + 10}{10} = \frac{55}{10} = 5, 5$ . Sachant $A_{2}$ , uniforme sur ${1, \dots, 4}$ : $E (X / A_{2}) = \frac{10}{4} = 2, 5$ .

Espérance totale.

$E (X) = 5, 5 \times 0, 7 + 2, 5 \times 0, 3 = 3, 85 + 0, 75 = 4, 6.$

Remarque. La loi de $X$ n'est pas uniforme : $P (X = 1) = 0, 7/10 + 0, 3/4 = 0, 145$ , alors que $P (X = 7) = 0, 07$ . On a évité de l'écrire.

Énoncé

Corrigé

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