Espérance conditionnelle et indépendance

Compléments sur les variables aléatoires réelles · Espérance conditionnelle · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire discrète admettant une espérance et $A$ un événement de probabilité non nulle, indépendant de $X$ (c'est-à-dire indépendant de tous les $[X = k]$ ). Montrer que $E (X / A) = E (X)$ .

Corrigé

Par indépendance, pour tout $k$ ,

$P ([X = k] ∣ A) = \frac{P ( [ X = k ] \cap A )}{P ( A )} = \frac{P ([ X = k ]) P ( A )}{P ( A )} = P ([X = k]) .$

La loi conditionnelle est donc la loi de $X$ elle-même, et par conséquent

$E (X / A) = k \sum k P ([X = k]) = E (X) .$

L'interprétation. Conditionner par un événement indépendant n'apporte aucune information : la moyenne ne bouge pas. À l'inverse, si $E (X / A) \neq = E (X)$ , c'est la preuve que $A$ et $X$ ne sont pas indépendants.

Contrôle par l'espérance totale. Avec le système complet ${A, A ˉ}$ , si $A$ est indépendant de $X$ , $A ˉ$ l'est aussi, et $E (X) = E (X) P (A) + E (X) P (A ˉ) = E (X)$ . Cohérent.

Énoncé

Corrigé

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