mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 6 · Exercice

Espérance conditionnelle sur un dé

Compléments sur les variables aléatoires réelles · Espérance conditionnelle · niveau 1 (application)

Énoncé

On lance un dé équilibré à six faces, $X$ est le résultat. Calculer $E (X)$ , puis $E (X / B)$ où $B$ est l'événement « le résultat est supérieur ou égal à $3$ ».

Corrigé

$E (X)$ . $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3, 5$ .

$E (X / B)$ . Sachant $B$ , les quatre valeurs $3, 4, 5, 6$ sont équiprobables, chacune de probabilité conditionnelle $\frac{1}{4}$ :

$E (X / B) = \frac{3 + 4 + 5 + 6}{4} = 4, 5.$

Contrôle par l'espérance totale. Avec $B ˉ$ = « résultat $⩽ 2$ », $E (X / B ˉ) = 1, 5$ et $P (B) = \frac{2}{3}$ , $P (B ˉ) = \frac{1}{3}$ :

$4, 5 \times \frac{2}{3} + 1, 5 \times \frac{1}{3} = 3 + 0, 5 = 3, 5 = E (X) .$

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