L'espérance comme somme des queues

L'idée. Chaque valeur $n$ prise par $X$ doit être comptée $n$ fois, et l'on va la compter en la découpant en $n$ unités : $n=\underset{n\text{termes}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}$.

Le calcul. Pour $k⩾1$, l'événement $[X⩾k]$ est la réunion disjointe des $[X=n]$ pour $n⩾k$, donc $$P([X⩾k])=\sum _{n⩾k}P([X=n]).$$ En sommant sur $k⩾1$ : $$\sum _{k⩾1}P([X⩾k])=\sum _{k⩾1}\sum _{n⩾k}P([X=n]).$$ Tous les termes étant positifs, on peut réorganiser la somme double : le couple $(k,n)$ y apparaît exactement lorsque $1⩽k⩽n$. À $n$ fixé, il y a donc $n$ valeurs de $k$, et $$\sum _{k⩾1}\sum _{n⩾k}P([X=n])=\sum _{n⩾1}nP([X=n])=E(X),$$ le terme $n=0$ ne contribuant pas. C'est la formule annoncée.

Le point délicat. La permutation des deux sommes n'est légitime que parce que tous les termes sont positifs — et l'hypothèse d'existence de $E(X)$ garantit que la valeur commune est finie.

La vérification. Soit $X$ géométrique de paramètre $p\in \left]0,1\right[$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, et $q=1-p$. Alors $[X⩾k]$ signifie « les $k-1$ premiers lancers ont échoué », donc $P([X⩾k])=q^{k-1}$. La formule donne $$\sum _{k⩾1}{q}^{k-1}=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p},$$ somme d'une série géométrique de raison $q\in \left]0,1\right[$. On retrouve bien $E(X)=\frac{1}{p}$ — et bien plus vite qu'en sommant $\sum k{q}^{k-1}p$.