L'espérance conditionnelle d'un indicateur

La loi de $X$. $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, et $[X=1]=A$, $[X=0]=\overline{A}$. C'est l'indicateur de $A$.

Le calcul. Par définition de l'espérance conditionnelle, $$E(X/B)=\sum _{k\in \{0,1\}}kP([X=k]\mid B)=0\times P(\overline{A}\mid B)+1\times P(A\mid B)=P(A\mid B).$$ Le terme en $k=0$ disparaît, quelle que soit sa probabilité : c'est ce qui rend le résultat si simple.

Ce que cela dit. Une probabilité conditionnelle est une espérance conditionnelle : celle de l'indicateur de l'événement. C'est ce qui permet, en pratique, de calculer une probabilité par la formule de l'espérance totale — les deux formules, probabilités totales et espérance totale, n'en font qu'une.

L'application. L'univers est $\{1,\dots ,6\}$ équiprobable, $A=\{6\}$ et $B=\{2,4,6\}$. Alors $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})}=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}.$$ Donc $E(X/B)=\frac{1}{3}$.

Le contrôle direct. Sachant $B$, les trois issues $2$, $4$, $6$ sont équiprobables ; $X$ vaut $0$, $0$, $1$ respectivement. Donc $$E(X/B)=\frac{1}{3}\times 0+\frac{1}{3}\times 0+\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}.$$ À comparer à $E(X)=P(A)=\frac{1}{6}$ : savoir que le résultat est pair double la chance d'un $6$.