L'espérance conditionnelle est linéaire

Le principe. Par définition, $E(\cdot /A)$ est l'espérance pour la probabilité conditionnelle $P_A$. Or l'espérance, quelle que soit la probabilité employée, est linéaire et vaut $b$ sur la variable constante égale à $b$. Le résultat est donc une simple relecture de la linéarité — mais écrivons-la.

La démonstration. Notons $Z=aX+b$. Si $X$ prend les valeurs $k$, alors $Z$ prend les valeurs $ak+b$, et $[Z=ak+b]\supset [X=k]$ ; en supposant $a\ne 0$ ces événements sont égaux. Donc $$E(Z/A)=\sum _k(ak+b)P([X=k]\mid A)=a\sum _{k}kP([X=k]\mid A)+b\sum _{k}P([X=k]\mid A).$$ La première somme vaut $E(X/A)$ par définition ; la seconde vaut $1$, car les événements $[X=k]$ forment un système complet, donc leurs probabilités conditionnelles somment à $1$. D'où $$E(aX+b/A)=aE(X/A)+b.$$ Si $a=0$, la variable est constante égale à $b$ et la formule reste vraie.

L'application. Sachant $A$, les trois valeurs $1$, $3$, $5$ sont équiprobables, chacune de probabilité $\frac{1}{3}$ : $$E(X/A)=\frac{1}{3}(1+3+5)=3.$$ Donc, avec $a=2$ et $b=1$, $$E(Y/A)=2\times 3+1=7.$$

Le contrôle direct. Sachant $A$, $Y$ prend les valeurs $3$, $7$, $11$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ chacune, et $\frac{1}{3}(3+7+11)=\frac{21}{3}=7$. À comparer à $E(Y)=2\times 3,5+1=8$ : conditionner change la moyenne.