La fonction de répartition d'un indicateur

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Lire une fonction de répartition

Énoncé

Soit $A$ un événement de probabilité $0, 4$ , et $X$ la variable valant $1$ si $A$ est réalisé et $0$ sinon. Donner $F_{X}$ , puis $E (X)$ et $V (X)$ .

Corrigé

La loi. $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , avec $P ([X = 1]) = P (A) = 0, 4, P ([X = 0]) = P (A) = 0, 6.$ C'est une loi de Bernoulli de paramètre $0, 4$ .

La fonction de répartition. Pour $x < 0$ , aucune valeur de $X$ n'est $⩽ x$ : $F_{X} (x) = 0$ . Pour $0 ⩽ x < 1$ , seule la valeur $0$ convient : $F_{X} (x) = 0, 6$ . Pour $x ⩾ 1$ , les deux valeurs conviennent : $F_{X} (x) = 1$ . Donc $F_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 0, 6 1 si x < 0, si 0 ⩽ x < 1, si x ⩾ 1.$ Elle saute de $0, 6$ en $0$ et de $0, 4$ en $1$ — les deux probabilités de la loi.

L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 6 + 1 \times 0, 4 = 0, 4 = P (A) .$ L'espérance d'un indicateur est la probabilité de l'événement : c'est un fait qu'on emploie sans cesse.

La variance. Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , on a $X^{2} = X$ , donc $E (X^{2}) = E (X) = 0, 4$ et $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 0, 4 - 0, 16 = 0, 24.$ On retrouve la formule $p (1 - p) = 0, 4 \times 0, 6 = 0, 24$ .

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