La fonction de répartition d'un indicateur

La loi. $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, avec $$P([X=1])=P(A)=0,4,P([X=0])=P(\overline{A})=0,6.$$ C'est une loi de Bernoulli de paramètre $0,4$.

La fonction de répartition. Pour $x<0$, aucune valeur de $X$ n'est $⩽x$ : $F_X(x)=0$. Pour $0⩽x<1$, seule la valeur $0$ convient : $F_X(x)=0,6$. Pour $x⩾1$, les deux valeurs conviennent : $F_X(x)=1$. Donc $$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0,\\ 0,6& \text{si }0⩽x<1,\\ 1& \text{si }x⩾1.\end{array}$$ Elle saute de $0,6$ en $0$ et de $0,4$ en $1$ — les deux probabilités de la loi.

L'espérance. $$E(X)=0\times 0,6+1\times 0,4=0,4=P(A).$$ L'espérance d'un indicateur est la probabilité de l'événement : c'est un fait qu'on emploie sans cesse.

La variance. Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $X^2=X$, donc $E(X^2)=E(X)=0,4$ et $$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=0,4-0,16=0,24.$$ On retrouve la formule $p(1-p)=0,4\times 0,6=0,24$.