La fonction de répartition d'un maximum et d'un minimum

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Fonction de répartition

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes, de fonctions de répartition $F_{X}$ et $F_{Y}$ . On pose $M = max (X, Y)$ et $m = min (X, Y)$ . Exprimer $F_{M}$ et $F_{m}$ en fonction de $F_{X}$ et $F_{Y}$ .

Corrigé

Le maximum. Le point de départ est une traduction d'événements : dire que le plus grand des deux nombres est inférieur ou égal à $x$ , c'est dire que les deux le sont. Autrement dit $[M ⩽ x] = [X ⩽ x] \cap [Y ⩽ x] .$ L'indépendance de $X$ et $Y$ donne alors la probabilité du produit : $F_{M} (x) = P ([X ⩽ x]) P ([Y ⩽ x]) = F_{X} (x) F_{Y} (x) .$

Le minimum. L'événement $[m ⩽ x]$ ne se coupe pas aussi bien : dire que le plus petit est $⩽ x$ , c'est dire que l'un au moins l'est, ce qui est une réunion, pas une intersection. On passe donc à l'événement contraire, où la traduction redevient une intersection : $[m > x] = [X > x] \cap [Y > x] .$ Par indépendance, et puisque $P ([X > x]) = 1 - F_{X} (x)$ : $1 - F_{m} (x) = P ([m > x]) = (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (x)),$ d'où $F_{m} (x) = 1 - (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (x)) .$

Le point délicat. Ces deux formules ne sont pas symétriques, et c'est normal : le maximum se contrôle « par le haut » et le minimum « par le bas ». Le passage au complémentaire est le geste qui rend le second cas aussi simple que le premier.

Un contrôle. Si $X$ et $Y$ ont la même loi, $F_{M} = F_{X}^{2} ⩽ F_{X}$ et $F_{m} = 1 - (1 - F_{X})^{2} ⩾ F_{X}$ . C'est cohérent : le maximum a tendance à être plus grand que $X$ , donc sa fonction de répartition est plus basse, et inversement pour le minimum.

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