La fonction de répartition d'une loi uniforme discrète

La loi. $X$ prend chacune des quatre valeurs avec la probabilité $\frac{1}{4}$.

La fonction de répartition. Par définition $F_X(x)=P([X⩽x])$ : on compte les valeurs de $X$ qui sont inférieures ou égales à $x$, et on multiplie par $\frac{1}{4}$. Cela donne $$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<1,\\ \frac{1}{4}& \text{si }1⩽x<2,\\ \frac{1}{2}& \text{si }2⩽x<3,\\ \frac{3}{4}& \text{si }3⩽x<4,\\ 1& \text{si }x⩾4.\end{array}$$

Sa forme. C'est une fonction en escalier, croissante, qui saute de $\frac{1}{4}$ en chacun des points $1$, $2$, $3$, $4$ — la hauteur du saut en $a$ étant précisément $P([X=a])$. Elle vaut $0$ avant la plus petite valeur et $1$ à partir de la plus grande.

La probabilité demandée. La formule du cours donne $$P([1<X⩽3])=F_X(3)-F_X(1)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

Le contrôle direct. L'événement $[1<X⩽3]$ est $[X=2]\cup [X=3]$, de probabilité $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Attention à la borne gauche : elle est exclue, et c'est pour cela que $[X=1]$ ne compte pas.