Le minimum de trois attentes

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Maximum et minimum

Énoncé

Trois joueurs lancent chacun de leur côté, indépendamment, une pièce donnant « pile » avec la probabilité $p \in] 0, 1 [$ , jusqu'à leur premier « pile ». Soit $X_{i}$ le nombre de lancers du joueur $i$ et $M = min (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ . Déterminer la loi de $M$ .

Corrigé

Chaque $X_{i}$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ . Posons $q = 1 - p$ .

La queue d'une loi géométrique. L'événement $[X_{i} ⩾ k]$ signifie que les $k - 1$ premiers lancers du joueur $i$ ont donné « face », d'où $P ([X_{i} ⩾ k]) = q^{k - 1}$ .

Le minimum se prend par sa queue. $M ⩾ k$ signifie que les trois joueurs en sont encore là. Par indépendance,

$P ([M ⩾ k]) = (q^{k - 1})^{3} = (q^{3})^{k - 1} .$

La loi. Pour tout $k ⩾ 1$ ,

$P ([M = k]) = P ([M ⩾ k]) - P ([M ⩾ k + 1]) = (q^{3})^{k - 1} (1 - q^{3}) .$

On reconnaît la loi géométrique de paramètre $1 - q^{3} = 1 - (1 - p)^{3}$ , dont l'espérance vaut $\frac{1}{1 - ( 1 - p ) ^{3}}$ .

Le point à retenir. Un maximum se traite par $[M ⩽ k]$ , un minimum par $[M ⩾ k]$ : dans les deux cas on passe par la fonction de répartition, parce que c'est là — et là seulement — que l'indépendance donne un produit.

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